题目

定点A（0,1）B（0,-1）C（1,0）,动点P满足：向量AP乘以向量BP=K*（向量PC的平方）急!
求（1）求P的轨迹,并说明方程表示的曲线类型
（2）求｜（向量AP）+向量BP｜的取值范围
主要第二小题的过程,
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提问时间：2020-12-25

答案

（1）设动点的坐标为P（x,y）,则 AP→=（x,y-1）, BP→=（x,y+1）, PC→=（1-x,-y）
∵ AP→• BP→=k| PC→|2,∴x2+y2-1=k[（x-1）2+y2]即（1-k）x2+（1-k）y2+2kx-k-1=0．
若k=1,则方程为x=1,表示过点（1,0）是平行于y轴的直线．
若k≠1,则方程化为： (x+k1-k)2+y2=(11-k)2,
表示以（- k1-k,0）为圆心,以 1|1-k|为半径的圆．
（2）当k=2时,方程化为（x-2）2+y2=1．
∵2 AP→+ BP→=2（x,y-1）+（x,y+1）=（3x,3y-1）,
∴|2 AP→+ BP→|= 9x2+9y2-6y+1．又x2+y2=4x-3,
∴|2 AP→+ BP→|= 36x-6y-26∵（x-2）2+y2=1,∴令x=2+cosθ,y=sinθ．
则36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6 37cos（θ+φ）+46∈[46-6 37,46+6 37],
∴|2 AP→+ BP→|max= 46+637=3+ 37,|2 AP→+ BP→|min= 46-637= 37-3．