题目

在三角形ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上的任意一点,PE平行AB交AC于E,PF平行AC交AC于F,点P在BC什么位置时,三角形PEF的面积最大

提问时间：2020-12-25

答案

由于PF∥AC,容易证明△BPF∽△BCA,进而得到比例关系：BP:BC=PF:AC,x0dPF=(BP/BC)AC=(t/2)AC————⑴x0d同理,由PE∥AB,可以求出：x0dPE=(PC/BC)AB=[(2-t)/2]AB————⑵x0d由于PF∥AC且PE∥AB,可以得知,四边形AFPE为平行四边形,∴∠A=∠FPE————⑶x0d而由已知两边和夹角的三角形面积公式,可知：x0d△PEF面积=(1/2)PE*PF*sin∠FPEx0d⑴⑵⑶代入上式,得：x0d△PEF面积=(1/2)PE*PF*sin∠FPEx0d=(1/2)*[(t/2)AC]*{[(2-t)/2]AB}*sin∠Ax0d=(1/2)AC*AB*sin∠A*[(2t-t^2)/4]x0d=△ABC面积*[(2t-t^2)/4]x0d其中△ABC面积=(1/2)*AD*BC=1x0d故：△PEF面积=(2t-t^2)/4x0d这个二次项系数为负,开口向下,在对称轴处(t=1)取得最大值,x0d所以：△PEF面积max=(2*1-1^2)/4=1/4x0d此时,t=1,即BP=1,P为BC中点.x0d设BP=x,cp=2-xx0d因为平行,所以相似x0d所以S三角形BPF:S三角形ABC=x^2:2^2x0dS三角形CPE:S三角形ABC=(2-x)^2:2^2x0d因為S三角形ABC=1x0d所以S三角形BPF=x^2/4x0dS三角形CPE=(2-x)^2/4x0d所以S四AFPE=1-x^2/4-(2-x)^2/4x0d所以S三角形PFE=S四AFPE/2=-1/4(x-1)^2+1/4x0d當x=1時,S三角形PFE最大=1/4x0d所以,p在BC中點