题目

已知向量

a

＝(sinx，−1)，

b

＝(

3

cosx，2)，函数f(x)＝(

a

+

b

)2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[−

π

4

，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

提问时间：2020-12-25

答案

（ I）由已知f(x)＝(a+b)2＝(sinx+3cosx)2+(−1+2)2，…（2分）化简得f(x)＝2sin(2x+π6)+3，…（4分）函数f（x）的最小正周期T＝2π2＝π．…（6分）（ II）∵x∈[−π4，π2]，则−π3≤2x+π6≤7π6，…（8分）所...

（ I）利用两个向量数量积公式化简f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)+3，由此求得函数的周期．
（ II）由 x∈[−

π

4

，

π

2

]，可得−

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，由此求得sin(2x+

π

6

)的范围，即可得到f(x)＝2sin(2x+

π

6

)+3的值域．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，正弦函数的周期性和求法、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．