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题目
已知直线y=x与抛物线y=ax²交于原点O和点A,将直线y=x水平移动3个单位后与抛物线y=ax²交于B,C,
与X轴交于点D,若AO:BD=1:2,求a的值.

提问时间:2020-12-24

答案
当a>0时,直线y=x向左平移3个单位,交x轴于D点
得到的直线y=x-3与抛物线y=ax²交与B、C两点
所以D点的坐标为(-3,0)
因为直线y=x与抛物线y=ax²交与A点
所以A得坐标为(1/a ,1/a)
分别过A、B两点作x轴的垂线,垂足为E、F
则AE=1/a,
在Rt△BDF和Rt△AOE中,
因为BD∥OA
所以∠BDF=∠AOE
∠BFD=∠AEO=Rt∠
所以Rt△BDF∽Rt△AOE
所以BD∶OA=BF∶AE
因为AO:BD=1:2
所以BF∶AE=2∶1
所以点B的纵坐标为2/a
因为点B在直线y=x-3上,
所以B的坐标为(2/a-3,2/a)
把点B的坐标代入抛物线y=ax²,得
2/a=a(4/a^2-12/a+9)
化简,得9a^2-12a+2=0
所以 a=(2±√2)/3
当a
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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