题目

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设直线y=2x+b与抛物线y²=4x相交於A,B两点,已知弦长AB=3√5,点P为抛物线上一点,ΔPAB的面积为30 求点P的坐标

提问时间：2020-12-24

答案

【1】联立抛物线与直线方程：｛y=2x+b.
｛y²=4x.
可得：4x²+4(b-1)x+b²=0.
判别式⊿=16(1-2b).
由“圆锥曲线弦长公式”可得：
|AB|=√[5(1-2b)].又由题设可知,弦|AB|=3√5.
∴√[5(1-2b)]=3√5.
∴b=-4.
∴直线方程为:y=2x-4.
【2】因点P在抛物线y²=4x上,
∴可设坐标P(a²,2a).a∈R.
由“点到直线的距离公式”,可求得点P到直线y=2x-4的距离d为：
d=|2a²-2a-4|/(√5).
【3】由题设及三角形面积公式可知：S=[d×|AB|]/2
即有：30=[d×3√5]/2.
∴d=4√5.又d=|2a²-2a-4|/(√5).
∴|2a²-2a-4|/(√5)=4√5.
解得：a=-3,或a=4.
∴点P(9,-6)或P(16,8).