题目

已知函数y=x+t/x有如下性质：如果常数t＞o,那么该函数在（0,√t)上是减函数,在（√t,+∞)上是增函数.
（1）已知f(x）=4x^2-12x-3/2x+1,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数f（x)和函数g（x）=-x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的取值

提问时间：2020-12-24

答案

(1)已知f(x）=4x^2-12x-3/2x+1,x∈[0,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域；
f(x）=(4x^2-12x-3)/(2x+1)
=[(2x+1)^2-8(2x+1)+4]/(2x+1)
=(2x+1)-8+4/(2x+1)
令（2x+1)=a,
原式=a+4/a-8
当a=2即x=1/2时、取得最小值-4.
f(x)的单调区间:x∈[0,1/2],单调递减；x∈[1/2,1],单调递增；
f（0）=-3
f（1）=-11/3
求函数f(x)的值域∈[-4,-3],
（2）当a≥1时,对于（1）中的函数f(x)和函数g(x）=x^3-3a^2x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的取值范围.
对函数g(x)求导易知：a大等于1时,函数g(x)=x^3-3x*a^2-2a ,x属于[0,1],g(x)在[0,1]上是单调递减的
当a≥1时,对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,也就是在区间[0,1]上g(x)的值域包含f(x)的值域
而g(x)在[0,1]上是单调递减的,故只需:
g(0)=-2a>=-3,a