题目

如图在四边形ABCD中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点．连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

提问时间：2020-12-24

答案

BE+CF=EF．
证明如下：如图，把△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG，
则∠1=∠3，∠4=∠C，DG=DF，BG=CF，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=120°-60°=60°，
∴∠3+∠2=60°，
即∠EDG=60°，
∴∠EDG=∠EDF，
∵∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠4=180°，
∴点E、B、G共线，
在△EDG和△EDF中，

DG＝CF ∠EDG＝∠EDF ED＝ED

，
∴△EDG≌△EDF（SAS），
∴EF=EG，
∵EG=BE+BG=BE+CF，
∴BE+CF=EF．

把△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG，根据旋转的性质可得∠1=∠3，∠4=∠C，DG=DF，BG=CF，然后求出∠EDG=∠EDF=60°，再根据∠B+∠C=180°求出点E、B、G共线，然后利用“边角边”证明△EDG和△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EG，然后整理即可得解．

本题考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，需要注意，一定要证明点E、B、G三点共线，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．