题目

在平面直角坐标系中,点P是异于原点的点,现将点P连接绕原点逆时针旋转3次
每次旋转90°,一次得到对应点P1,P2,P3.
若P的坐标为（3,1）,请分别写出P1P2P3的坐标,并求出四边形PP1P2P4的面积.
一般的,若点P的坐标是（a,b）,请分别写出P1P2P3的坐标,并求出四边形PP1P2P3的面积

提问时间：2020-12-24

答案

围绕原点逆时针旋转角度为θ,那麼对应点坐标(x',y')和原来的坐标(x,y)之间的关系是:
x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ
旋转90°,代入公式得P1(-1,3)
旋转180°,代入公式得P2(-3,-1)
旋转270°,代入公式得P3(1,-3)
易证PP1P2P3是正方形,面积公式S=c²/2,c是对角线长度
两点之间距离公式求得对角线为2√10,所以面积为20
P(a,b)
则P1(-b,a),P2(-a,-b),P3(b,-a)
S=[2√(a²+b²)]²/2=2(a²+b²)