题目

正四面体对棱中点连线多长
设正四面体ABCD,M为AB中点,N为CD中点,AB=2,求MN,

提问时间：2020-12-24

答案

首先证明正四面体对棱互相垂直.
作AH⊥底面ABC,垂足H,连结CH,并延长交BD于F,连结AF,
∵AB=AC=AD,
∴H是正△BCD的外心,
∴CF⊥BD,（正△三线合一）
∴F是BD中点,
∵△ABD也是正△,
∴AF⊥BD,
∵AF∩BD=F,
∴BD⊥平面AFC,
∵AC∈平面AFC,
∴BD⊥AC.即正四面体对棱互相垂直.
现再转入正题,
取AD中点E,连结NE、ME,
则EN、EM分别是△DAC和△ABD的中位线,
∴EN//AC,ME//BD,EN=AC/2,ME=BD/2,
∵AC=BD,
∴EN=ME,
∵BD⊥AC,（刚已证明对棱互相垂直）,
∴EN⊥ME,
∴△MEN是等腰RT△,
∵AB=2,
∴ME=NE=1,
∴MN=√2ME=√2.