题目

设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-12-24

答案

由f（x）=x²-ax+a+3知f（0）=a+3，f（1）=4，
又存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，
知△=a²-4（a+3）＞0即a＜-2或a＞6，
另g（x）=ax-2a中恒过（2，0），
故由函数的图象知：
①若a=0时，f（x）=x²-ax+a+3=x²+3恒大于0，显然不成立．
②若a＞0时，g（x₀）＜0⇔x₀＜2

a＞0 f(2)＜0

⇒a＞7
③若a＜0时，g（x₀）＜0⇔x₀＞2
此时函数f（x）=x²-ax+a+3图象的对称轴x=

a

2

＜−1，
故函数在区间（

a

2

，+∞）上为增函数
又∵f（1）=4，
∴f（x₀）＜0不成立．
故答案为：（7，+∞）．

函数f（x）=x²-ax+a+3的图象恒过定点（1，4），g（x）=ax-2a的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．

本题考点：一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．

考点点评：充分挖掘题目中的隐含条件，结合图象法，可使问题的解决来得快捷．本题告诉我们，图解法对于解决存在性问题大有帮助．