题目

若a,β是二次方程x²-2kx+k+6=0的两实数根,求y=(a+1)²+(β+1)²的取值范围

提问时间：2020-12-24

答案

答：
α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实数根
根据韦达定理有判别式有：
α+β=2k
αβ=k+6
判别式=(-2k)²-4(k+6)>=0
所以：k²-k-6>=0
所以：(k-3)(k+2)>=0
解得：k<=-2或者k>=3
y=(α+1)²+(β+1)²
=(α+1+β+1)²-2(α+1)(β+1)
=(2k+2)²-2(αβ+α+β+1)
=4(k²+2k+1)-2(k+6+2k+1)
=4k²+8k+4-6k-14
=4k²+2k-10
开口向上的抛物线,对称轴k=-1/4
k>=3时,y是单调递增函数,y>=y(3)=36+6-10=32
k<=-2时,y是单调递减函数,y>=y(-2)=16-4-10=2
所以：y的取值范围是 [2,+∞）