题目

方程sin(x^sinx)=cos(x^cosx)在闭区间【π/4,π/2】内的解的个数是

提问时间：2020-12-24

答案

一楼,你真的验算过了吗?sin[(π/4)^(√2/2)]=cos[(π/4)^(√2/2)]?
此题答案是0!
令f(x)=sin(x^sinx),g(x)=cos(x^cosx)
f'(x)=cos(x^sinx)*[x^(sinx)]*(cosxlnx+sinx/x),g'(x)=-sin(x^cosx)*[x^(cosx)]*(-sinxlnx+cosx/x)
当x∈[π/4,π/2]时,cosxlnx+sinx/x>0恒成立,所以f'(x)>0恒成立,f(x)单调递增；
当x∈[π/4,π/2]时,-sinxlnx+cosx/x先正后负,再加上g'(x)最前面的负号,所以g(x)先减后增.
当x=π/4时,(π/4)^(√2/2)>π/4,所以
f(π/4)=sin[(π/4)^(√2/2)]>cos[(π/4)^(√2/2)]=g(π/4)
f(π/2)=sin[(π/2)^1]>cos[(π/2)^0]=g(π/2)
综合上述,在[π/4,π/2]上,始终有f(x)>g(x),两函数无交点.原方程解个数为0.