题目
已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.
证明:(1)b与c两数必为一奇一偶;(2)2(a+b+1)是完全平方数.
证明:(1)b与c两数必为一奇一偶;(2)2(a+b+1)是完全平方数.
提问时间:2020-12-23
答案
证明:(1)∵a2+b2=c2,
∴a2=c2-b2=(c+b)(c-b),
因为a是质数,而(c+b)和(c-b)不可能都等于a,所以c-b=1,c+b=a2,得到c=b+1,
则b,c是两个连续的正整数,
∴b与c两数必为一奇一偶;
(2)将c=b+1代入原式得:
a2+b2=(b+1)2=b2+2b+1
得到a2=2b+1
则a2+2a+1=2b+1+2a+1=2(a+b+1)
左边等于(a+1)2是一个完全平方数,
所以右边2(a+b+1)是一个完全平方数,得证.
∴a2=c2-b2=(c+b)(c-b),
因为a是质数,而(c+b)和(c-b)不可能都等于a,所以c-b=1,c+b=a2,得到c=b+1,
则b,c是两个连续的正整数,
∴b与c两数必为一奇一偶;
(2)将c=b+1代入原式得:
a2+b2=(b+1)2=b2+2b+1
得到a2=2b+1
则a2+2a+1=2b+1+2a+1=2(a+b+1)
左边等于(a+1)2是一个完全平方数,
所以右边2(a+b+1)是一个完全平方数,得证.
举一反三
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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