题目

如图，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）观察图象，写出不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集为______；
（3）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．

提问时间：2020-12-23

答案

（1）由题意得出：A（3，0），B（0，3），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点，
∴设y=a（x-1）（x-3），（a≠0），
∴a×（-1）×（-3）=3，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x+3；
（2）∵A（3，0），B（0，3），
∴利用图象可得出：不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集为：x＜0或x＞3；
故答案为：x＜0或x＞3；
（3）由题意得：△ABO为等腰直角三角形，如图所示：
①若△ABO∽△AP₁D，
则

AO

AD

=

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
②若△ABO∽△ADP₂，过点P₂作P₂M⊥x轴于点M，AD=4，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴△ADP₂是等腰直角三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，
∴MO=1，
∴P₂（1，2）．