题目

求cosx/sinx(sinx+cosx)的积分.
是在下面的

提问时间：2020-12-23

答案

那个(sinx+cosx)是在分数线下面还是上面?
在下面的话cosx/sinx(sinx+cosx)大概可以化为
1/sinx-1/(sinx+cosx)
而1/sinx=[(sin(x/2))^2+(cos(x/2))^2]/[2sin(x/2)cos(x/2)
=1/2[sin(x/2)/cos(x/2)]+1/2[cos(x/2)/sin(x/2)]
把上式的积分分拆成1/2[sin(x/2)/cos(x/2)]的积分
和1/2[cos(x/2)/sin(x/2)]的积分
在1/2[sin(x/2)/cos(x/2)]的积分中令u=cos(x/2),则1/2sin(x/2)dx=du
积分化为1/u的积分的形式
同理,在1/2[cos(x/2)/sin(x/2)]的积分中,令v=sin(x/2)
则1/2cos(x/2)dx=-dv,原积分化为1/v的积分的形式
故1/sinx的积分可以求出
而对1/(sinx+cosx)的积分,利用辅助角公式,有
1/(sinx+cosx)=1/[√2sin(x+π/2)]
令t=x+π/2,则dx=dt,原积分化为1/(√2sint)的形式
提出√2之后,原积分化为1/(2sint)的形式,用上面写
过的办法求出积分在把所得结果加起来即可.
（好像有些复杂,说不定有简单的办法）