题目

想证明一个分段函数的连续性,是不是要看他的可导性,如题,该怎么求……谢谢

提问时间：2020-12-23

答案

这题都出过多少次了.详细解答如下：
首先,连续是连续,可导是可导,题目要你先证明连续性你就先证这个,凡事一步一步来不要跳.注意这里只需要证明函数在x=0点连续以及可导,只要证明这一点就够了,其他的点是不是连续,是不是可导我们根本就不关心.利用连续性、导数的定义还有题设条件就完了.
证明函数f(x)在x=0点的连续性只需要证明在x=0处极限值等于函数值.
亦即lim (x趋于0) phi(x)/x = f(0) = 1,因为此时x是“趋于”0,不是“等于”0,因此极限符号里面的f(x)的表达式必须套用x不为零那一段的函数值；(phi就是题目里的希腊字母,我的拼写是按照发音拼的,英语里ph发/f/的音,所以念作/fi/).由于：
phi ' (0) = lim (x趋于0) [phi(x) - phi(0) ]/x （导数定义）
= lim (x趋于0) phi(x)/x （phi(0) = 0）
= 1 (题目给的,phi ' (0) =1)
于是,lim (x趋于0) phi(x)/x = 1,连续性证毕；
关于在x=0的可导性,还是根据定义,考察如下极限：
f'(0) = lim (x趋于0) [f(x) - f(0)]/x
= lim (x趋于0) [ phi (x)/x - 1]/x
注意到,当x趋于0时,分子分母都是趋于0的,因为我们刚才证明过了lim (x趋于0) phi(x)/x = 1.（所以我们必须循序渐进地先证明连续性再证明可导性,这里必须利用我们刚证明过的连续性）
由于是0/0不定式,加上phi(x)是二阶连续可导的,所以可以考虑用罗比达法则,
f'(0) = lim (x趋于0) [ phi ' (x) * x - phi(x)]/x^2 (^2为平方,* 为乘号)
这同样是一个0/0型,因为题目已知phi (0) = 0.于是继续用一次罗比达法则,
f'(0) = lim (x趋于0) [ phi '' (x) * x + phi ' (x) - phi ' (x)] / (2x)
= lim (x趋于0) [ phi '' (x) * x ] / (2x) = lim (x趋于0) phi '' (x) / 2
由于函数phi '' (x)在x=0处连续（二阶连续导数）,所以,
f'(0) = lim (x趋于0) phi '' (x) / 2 = phi '' (0) / 2
现在已经求出了导数,而且phi '' (0)是完全有定义的（说phi(x)在x=0有二阶连续导数就等于默认phi '' (0)是存在的）,证毕.
如果题目继续告诉你phi '' (0)是多少,直接代入就能求f'(0) 了.
这题太老了,我读本科的时候对这个题印象非常深刻.考了好几次这个题.