题目

设x≥1，y≥1，证明：x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy

提问时间：2020-12-23

答案

证明：要证x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy，
只需证明

1

xy

−

1

x

−

1

y

≤xy−x−y，
只需证明(1−

1

x

)(1−

1

y

)≤(1−x)(1−y)=（x-1）（y-1），
只需证明1-

1

x

≤x-1；1-

1

y

≤y-1，
即证x+

1

x

≥2，y+

1

y

≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy得证．