题目

关于证明函数单调性的题
已知函数f(x)定义域为（0,+∞）,且对任意的实数x,y有f(xy）=f(x)+f(y),已知f(2)=1,且当x＞1时,f(x)大于0.
（1）求证：在（0,+∞）上单调递增
（2）若f(x+1)-f(2x)≥2成立,求x的取值范围.

提问时间：2020-12-23

答案

(1)令x=2,y=1,则f(2)=f(2)+f(1),则f（1）=0
令y=1/x,则f（1）=f(x)+f(1/x)=0,f(1/x)=-f(x)
设x>y>0,那么一定有x/y >1,f(x/y)>0
则f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)>0
所以是曾函数
（2）定义域知,x+1>0,2x>0,所以x>0
f(x+1)-f(2x)≥2 = 2f(2)=f(4)
f([ (x+1)/2x ]≥f(4)
因为是增函数,(x+1)/2x]≥4
解得0