题目

求三角形的重心,内外心,垂线角平分线中线的相关性质

提问时间：2020-12-22

答案

三角形的重心：重心是三角形三边中线的交点. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.内心：　在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, 　性质：设△ABC的内切圆为☉I(r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心． 　　2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r． 　　3、r=S/p． 　　4、在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2． 　　5、∠BIC=90°+A/2． 　　6、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　7、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是： 　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 　　8、△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么△ABC内心I的坐标是： 　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 　　9、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr． 　　10、（内角平分线分三边长度关系） 　　△ABC中,0为内心,∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R,　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 　　11、△ABC中,内切圆分别与AB,BC,CA相切于P,Q,R,则AP=AR=（b+c-a）/2,BP =BQ =(a 　　+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2.外心：定义
　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心． 　　三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上.
三角形外心的性质
　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2． 　　1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； 　　（2）直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合； 　　（3）钝角三角形的外心在三角形外. 　　2：∠BGC=2∠A,（或∠BGC=2(180°-∠A). 　　3：点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 　　4：点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　（1）向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等. 　　6：R=abc/4S⊿ABC. 　　正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC.垂线：过顶点作它对边的线,并垂直于它对边.角平分线：平分角.中线：定义
　　三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线. 　　由定义可知,三角形的中线是一条线段. 　　由于三角形有三条边,所以一个三角形有三条中线. 　　三角形中线分三角形所得的两个三角形面积相等.
性质
　　设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c． 　　1、三角形的三条中线都在三角形内. 　　2、三角形的三条中线长： 　　._______ 　　ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ； 　　._______ 　　mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ； 　　._______ 　　mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 . 　　(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长） 　　3、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心. 　　4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 　　5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 好多呀,累死了