题目

如图以O为端点有n条射线,则这样的图形共有（ ）个角?（说明理由）

提问时间：2020-12-22

答案

角内部引1条射线能组成3个角,3=1+2
角内部引2条射线能组成5个角,6=1+2+3
角内部引n条射线能组角的个数为：1+2+……+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2
证明方法：
方法(1)
n条射线连同角的两边,一共有n+2条射线,这n+2条射线中,每一条射线都可以与其他(n+1)条射线组成一个角,一共可以组成(n+2)(n+1)个角,但是每个角都被重复计算了一遍,故全部角的个数应该是(n+2)(n+1)/2.
方法(2)
用数学归纳法,
角内部引1条射线能组成3个角,3=1+2
角内部引2条射线能组成5个角,6=1+2+3
假设角内部引k条射线组成角的个数为：1+2+……+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2
考察角内部引k+1条射线的情形,已有的k+2条射线（包括角的两边在内）已组成(k+1)(k+2)/2个角,在此基础上新增一条射线,这条射线与已有的k+2条射线又可形成k+2个角,故新增一条射线后,角的个数变成(k+1)(k+2)/2+(k+2)=(k+2)(k+3)/2,结论也成立.