题目

如图,A,B是函数y=e^2x的图像上两点,分别过A,B作x轴的平行线与函数y=e^x的图像交与C,D两点
求点A与原点O连成直线的斜率取值范围
若直线AB过原点O,求证直线CD也过原点

提问时间：2020-12-22

答案

设在函数 y=e^2x 上的两点坐标分别为A (x1,e^(2x1)),B(x2,e^(2x2))
这两点所成直线过原点,所以直线方程为
y=[e^(2x2)-e^(2x1)]/(x2-x1) * x
当AB两点重合的时候,AB为过原点的函数y=e^2x的切线
y'=2e^2x （1）
设该切线方程为y=kx,设切点为(x',e^2x')则
e^2x'=2x'e^2x'
2x'=1
x'=0.5
带入（1）得此时斜率为2e,此为斜率的最小值
设x2>x1,当AB不重合的时候斜率为[e^(2x2)-e^(2x1)]/(x2-x1),x1无穷大的时候,斜率[e^(2x2)-e^(2x1)]/(x2-x1)的极限为无穷大,所以,斜率的取值范围是
[2e,正无穷)
y=e^x 上两点的坐标为 C(2x1,e^(2x1) D(2x2,e^(2x2))
设这两点所成直线为y=kx+b
k=[e^(2x2)-e^(2x1)]/[2(x2-x1)]
带入点C(2x1,e^(2x1) 得到：
e^(2x1)=[e^(2x2)-e^(2x1)]/[2(x2-x1)] * 2x1 + b
化简得到b=0
所以CD过原点.