题目

已知直线L：Y=k(X+2√2)与圆C：X^2+Y^2=4.若L与圆相交与A,B两点,记△AOB的面积为S,求函数S=f（x）
求S最大值,并求此时K值.

提问时间：2020-12-22

答案

X²+Y²=4① [圆心在原点,半径为2]
Y=k(X+2√2)② [过定点（-2√2,0）的一条直线]
解题思路：
联立求解上述方程组,得到两个含参数k的分别关于X和Y的一元二次方程,根据韦达定理得出x1+x2和y1+y2的含k表达式.其中(x1+x2)/2和(y1+y2)/2代表着AB的中点坐标,而这个中点到圆心[也是坐标原点]的距离L正好是等腰三角形AOB底边AB上的高.同时可知圆的半径R=2[由圆方程得之],也就是等腰三角形的腰为2,这样三角形底边的一半[半弦长]可根据勾股定理求得：AB/2=√(4-L²).
所以得：S=L√(4-L²)
其中L是k的函数表达式.
至于求S的极值,关键要看具体表达式S=L√(4-L²)的复杂程度了,如果比较简单,可能直接就可得出极值点,否则就要用到高三的导数方法了[既然是高一的题目,想必不会出现这种情形的].
具体解法自己做吧.