题目

求y=(3sinx-15)除以(2cosx+2根号3)的值域

提问时间：2020-12-21

答案

y= (3 sin x -15) / (2 cos x +2 根号3)
= (3/2) *(sin x -5) / (cos x +根号3).
在平面直角坐标系 uOv 中,
设定点 A (-根号3,5),
动点 P (cos x,sin x),
则 P 在单位圆 u^2 +v^2 =1 上,
且 直线AP 的斜率为
k = (sin x -5) / (cos x +根号3).
过 点A 作单位圆 的切线 AP1,AP2,分别交 u轴 于 Q1,Q2,
(P1在u轴下方,P2在u轴上方,自己画图.)
设 AP1,AP2,AO 的倾斜角 为 @1,@2,@0,
角OAQ1 =角OAQ2 = Beta,
则 @2 = @0 +Beta,
@0 = @1 +Beta,
即 @1 = @0 -Beta.
而 tan @0 = 5 / (-根号3) = -5 (根号3) / 3,
|OA| = 根号 [ (-根号3)^2 +5^2 ] = 2 (根号7),
|AP1| = 根号 [ |OA|^2 -1^2 ] = 3 (根号3),
tan Beta = 1/ |AP1| = (根号3) / 9.
所以 tan @1 = (tan @0 -tan Beta) / (1 +tan @0 tan Beta)
= -24 (根号3) /7.
tan @2 = (tan @0 +tan Beta) / (1 -tan @0 tan Beta)
= -根号3.
所以 -24 (根号3) /7