题目

如图，抛物线C₁：y²=4x，圆C₂：（x-1）²+y²=1，过抛物线焦点的直线l
交C₁于A，D两点，交C₂于B，C两点．

（Ⅰ）若|AB|+|CD|=2|BC|，求直线l的方程；
（Ⅱ）求|AB|•|CD|的值．

提问时间：2020-12-21

答案

（Ⅰ）抛物线C₁：y²=4x的焦点为（1，0），圆C₂：（x-1）²+y²=1，
圆心为（1，0），半径为1．则圆心C₂（1，0）为抛物线的焦点，
由|AB|+|CD|=2|BC|，得|AD|=3|BC|=6．
由题易得直线l的斜率存在且不为零，
设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y＝k(x−1) y2＝4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x1+x2＝

2k2+4

k2

，
又由抛物线的定义可得，|AD|=x₁+x₂+2=6，
所以x₁+x₂=

2k2+4

k2

＝4，解得k＝±

2

，
则有直线l的方程为y＝±

2

(x−1)； 
（Ⅱ）若l与x轴垂直，则x₁=x₂=1；
若l与x轴不垂直，则由（Ⅰ）知x1x2＝

k2

k2

＝1．
所以由抛物线的定义可得，|AB|•|CD|=（x₁+1-1）（x₂+1-1）=x₁x₂=1．

（Ⅰ）求出抛物线的焦点为（1，0），圆的圆心为（1，0），半径为1．则圆心C₂为抛物线的焦点，由|AB|+|CD|=2|BC|，得|AD|=3|BC|=6．设出直线l：y=k（x-1），联立抛物线方程消去y，得到二次方程，由根与系数的关系得到两根之和，又由抛物线的定义可得，|AD|=x₁+x₂+2，即可得到k，进而得到直线方程；
（Ⅱ）若l与x轴垂直，则x₁=x₂=1；若l与x轴不垂直，则有根与系数的关系，得到两根之积，再由抛物线的定义，即可得到所求的值．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程的运用，考查直线与圆的位置关系，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理解题，考查运算能力，属于中档题和易错题．