题目
如图,抛物线C1:y2=4x,圆C2:(x-1)2+y2=1,过抛物线焦点的直线l
交C1于A,D两点,交C2于B,C两点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8cb1cb13495409230e939dfa9158d109b2de49b8.jpg)
(Ⅰ)若|AB|+|CD|=2|BC|,求直线l的方程;
(Ⅱ)求|AB|•|CD|的值.
交C1于A,D两点,交C2于B,C两点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8cb1cb13495409230e939dfa9158d109b2de49b8.jpg)
(Ⅰ)若|AB|+|CD|=2|BC|,求直线l的方程;
(Ⅱ)求|AB|•|CD|的值.
提问时间:2020-12-21
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5366d0160924ab1886811fb336fae6cd7a890b9a.jpg)
圆心为(1,0),半径为1.则圆心C2(1,0)为抛物线的焦点,
由|AB|+|CD|=2|BC|,得|AD|=3|BC|=6.
由题易得直线l的斜率存在且不为零,
设直线l:y=k(x-1),A(x1,y1),D(x2,y2),
由
|
则x1+x2=
2k2+4 |
k2 |
又由抛物线的定义可得,|AD|=x1+x2+2=6,
所以x1+x2=
2k2+4 |
k2 |
2 |
则有直线l的方程为y=±
2 |
(Ⅱ)若l与x轴垂直,则x1=x2=1;
若l与x轴不垂直,则由(Ⅰ)知x1x2=
k2 |
k2 |
所以由抛物线的定义可得,|AB|•|CD|=(x1+1-1)(x2+1-1)=x1x2=1.
(Ⅰ)求出抛物线的焦点为(1,0),圆的圆心为(1,0),半径为1.则圆心C2为抛物线的焦点,由|AB|+|CD|=2|BC|,得|AD|=3|BC|=6.设出直线l:y=k(x-1),联立抛物线方程消去y,得到二次方程,由根与系数的关系得到两根之和,又由抛物线的定义可得,|AD|=x1+x2+2,即可得到k,进而得到直线方程;
(Ⅱ)若l与x轴垂直,则x1=x2=1;若l与x轴不垂直,则有根与系数的关系,得到两根之积,再由抛物线的定义,即可得到所求的值.
(Ⅱ)若l与x轴垂直,则x1=x2=1;若l与x轴不垂直,则有根与系数的关系,得到两根之积,再由抛物线的定义,即可得到所求的值.
直线与圆锥曲线的综合问题.
本题考查抛物线的定义、性质和方程的运用,考查直线与圆的位置关系,考查联立直线方程和抛物线方程,消去未知数,运用韦达定理解题,考查运算能力,属于中档题和易错题.
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我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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