题目

设f(x)是定义域在R上以2为周期的函数,对于k∈Z用IK表示区间（2k-1,2k+1],当x∈I（0）时f（x）=根号下1-x²
1.求f（x）在Ik上的解析式
2.若对于正整数k,f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实数根,求a的取值范围
（Ik中K为下标,I0中零为下标）

提问时间：2020-12-21

答案

(1)f(x)是定义域在R上以2为周期的函数
因为f(x)=√(1-x²)   x∈I（0）=(-1,1】
区间差=1-（-1）=2  恰好为1个周期
所以对于在k∈Z用IK表示区间（2k-1,2k+1]内
（2k-1,2k+1]与(-1,1】相差2k周期
所以可的f(x)=√(1-(x-2k)²)
(2)分别作出IK的周期图像和ax图像,如图所示
k为正整数  所以x≥2*1-1=1
因为f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实数根
所以根据图像ax在a1x和a2x之间
即a1＜a＜a2
第一个区间为（1,3】
此时方程f(x)=√(1-(x-2)²)与y=a2x相切
即√(1-(x-2)²)=a2x有一解
(a2²+1)x²-4x+3=0
△=16-12(a2²+1)=0
a2=±√3/3
由图得a2=√3/3
第二区间（3,5】与a1x相切
此时方程f(x)=√(1-(x-4)²)
即√(1-(x-4)²)=a1x有一解
(a1²+1)x²-8x+15=0
△=64-60(a1²+1)=0
a1=√15/15
a1＜a＜a2
即√15/15＜a＜√3/3