题目

快 是否存在实数K,使得关于X的不等式log4[(√X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2)

提问时间：2020-12-21

答案

你的题目中有一个地方不太对吧!根号里面的是不是应该是：√(X^2+kx+3);
是否存在实数K,使得关于X的不等式log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2)<=1对于任意X属于[1,2]恒成立?说明理由.
因为 任意X属于[1,2],
log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2) 的范围在：
log4[√(k+4)-1]+log3(k+3)≤log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2)≤log4[√(2k+7)-1]+log3(2k+6) ,
取两端,构成关于k的不等式：
log4[√(k+4)-1]+log3(k+3)≤log4[√(2k+7)-1]+log3(2k+6),
用换底公式：以10为底：
{lg[√(k+4)-1]}/lg4+{lg(k+3)}/lg3≤{lg[√(2k+7)-1]}/lg4+{lg(2k+6)}/lg3,
因为 0<(lg4)(lg3)=2*0.3010*0.4771≈0.2872<1,
(lg3){lg[√(k+4)-1]}+(lg4){lg(k+3)}≤(lg3){lg[√(2k+7)-1]}+(lg4){lg(2k+6)},
(lg3){lg[√(2k+7)-1]- lg[√(k+4)-1]}+(lg4){lg(2k+6)- lg(k+3)}≥0,
(lg3){lg{[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]}}+(lg4){lg[(2k+6)/(k+3)]}≥0,
(lg3){lg{[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]}}≥(lg4){lg[(k+3)/(2k+6)]},
因为(lg4)/(lg3) ≈0.6021/0.4771≈ 1.262,
lg{[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]}≥1.262 lg[(k+3)/(2k+6)]= lg[1/2]^ 1.262,
lg x 是增函数,
[√(2k+7)-1]/[√(k+4)-1]≥[1/2]^ 1.262 =2^(-1.262),
分母有理化：
{[√(2k+7)-1][√(k+4)+1]/(k+3)}^(lg3)≥2^(-1.262),
因为 问题是问 “是否存在实数K”,只要求出部分解、而不必求出所有的解集!
设K=-2,
左边=[√3-1][√2+1]= √6+√3-√2-1≈2.449+1.732-1.414-1] =1.767,
右边=2^(-1.262) ≈1/2^1.262≈1/2.398≈0.417,
左边 > 右边,成立.
故 回答：是存在实数K,K=-2,使得关于X的不等式log4[√(X^2+kx+3)-1]+log3(X^2+kx+2)<=1对于任意X属于[1,2]恒成立.
但K=-2只是其中一个解,并不是全部解集.
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按照这个思路,即不必求出全解集,只要求出部分适合的解,于是,还可以进行如下讨论：
要使不等式log4[√(x^2+kx+3)-1]+log3(x^2+kx+2)<=1成立,只要：
log4[√(X^2+kx+3)-1] <=1 和 log3(X^2+kx+2)<=1,
因为 log4(4)=1, log3(3)=1,
所以0<√(x^2+kx+3)-1<=4,且 0< x^2+kx+2<=3,
解前一个不等式：
1<√(x^2+kx+3)≤5,且 1即 x^2+kx+2>0, 且 x^2+kx-22≤0,
因为 1≤x≤2, 代入,得：k+3≤x^2+kx+2≤2k+6,且 k-21≤x^2+kx-22≤2k-18,
对比上面的不等式,得： k+3>0,或2k+6>0,且 k-21≤0,或2k-18≤0,
解得： k>-3,且 k≤21 或 k≤9,
取 -3解后一个不等式：
0< x^2+kx+2<=3,
因为 1≤x≤2, 代入,得： k+3≤x^2+kx+2≤2k+6,
两端也应该服从上述不等式： 0-3取 -3总结：-3取公共部分作为-3答：是存在实数k, -3【k=-2只是其中一个特解!】
这个题目有点搅人.