题目

当z=-

1-i

2

时，z¹⁰⁰+z⁵⁰+1的值等于______．

提问时间：2020-12-21

答案

∵z=-

1-i

2

=

2

2

-

2

2

i
∴z²=

1

2

-2×

2

2

×

2

2

i+（

2

2

i）²=-i，可得z⁴=-1
根据复数乘方的含义，可得z¹⁰⁰=（z⁴）²⁵=-1，z⁵⁰=（z⁴）¹²•z²=-i
∴z¹⁰⁰+z⁵⁰+1=-1-i+1=-i
故答案：-i

首先通过平方，得到z2=-i，可得z4=-1．再结合复数乘方的含义，不难得到z100=-1且z50=-i，从而得到z100+z50+1的值．

本题考点：复数代数形式的混合运算．

考点点评：本题通过复数的平方，计算它的100次方和50次方，着重考查了复数代数形式的混合运算和复数乘方的含义等知识，属于基础题．