题目

过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点,若|AB|=8,求三角形AOB面积

提问时间：2020-12-21

答案

设直线L：y=kx+b,A（x1,y1）,B（x2,y2）,抛物线焦点F（1,0）,
把F带入直线得,0=k+b,即b=-k；
把A、B带入直线得y1=kx1+b,y2=kx2+b,相减得y1-y2=k（x1-x2）；
带直线入抛物线得y²=4（y-b）/k,ky²-4y+4b=0,ky²-4y-4k=0,则y1+y2=4/k,y1y2=-4；
|AB|²=（x1-x2）²+（y1-y2）²=（y1-y2）²/k²+（y1-y2）²=（1+1/k²）（y1-y2）²
=（1+1/k²）[（y1+y2）²-4y1y2]=（1+1/k²）（16/k²+16）=64,
则k=±1；
S△AOB=S△AOF+S△BOF=1/2|OF||y1|+1/2|OF||y2|=1/2|OF|(|y1|+|y2|),由图知,y1与y2一正一负,故|y1|+|y2|=|y1-y2|,那么（y1-y2）²=（y1+y2）²-4y1y2=32,即|y1|+|y2|=|y1-y2|=4√2；
综上,S△AOB=2√2.