题目

角动量、刚体力学问题
半径为r的小球沿斜面滚入半径为R的竖直环形轨道里.求小球到最高点时至少需要具备多大的速度才不致脱轨.若小球在轨道上只滚不滑,需要在斜面上多高处自由释放,它才能获得此速度?
答案可能是：h=(27R-17r)/10 为什么呢?

提问时间：2020-12-21

答案

设最高点最小速度v,转动角速度为w
v^2/(R-r)=g;不脱离条件
wr=v
此时平动动能为1/2mv^2,转动动能为1/2Iw^2=1/2*(2/5mr^2)w^2=1/5mv^2
所以总动能为(1/2+1/5)mv^2=7/10mv^2=7/10mg(R-r)
势能为mg(2R-r)
设自由释放高度为h,由能量守恒
mgh+0=mg(2R-r)+7/10mg(R-r)
h=(27R-17r)/10