题目

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），

1

c+1

+

9

a+9

则的最大值是（　　）
A.

3

B. 2
C.

6

5

D. 1

提问时间：2020-12-21

答案

由二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），得

a＞0 △＝16−4ac＝0

，∴ac=4，a＞0，c＞0，

1

c+1

+

9

a+9

=

a+9c+18

(c+1)(a+9)

=

a+9c+18

a+9c+13

=1+

5

a+9c+13

≤1+

5

2 9ac +13

=1+

5

25

=

6

5

，
当且仅当a=9c时取等号，
由

ac＝4 a＝9c

解得c=

2

3

，a=6，
∴

1

c+1

+

9

a+9

则的最大值是

6

5

，
故选C．

由二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），可得ac=4，对

1

c+1

+

9

a+9

通分变形后利用基本不等式可求最大值．

本题考点：基本不等式；二次函数的性质．

考点点评：该题考查二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．