题目

圆的体积与表面积的公式以及推到过程（图）

提问时间：2020-12-20

答案

可以想象把一个圆展开
他就成里一个底=圆周长 高=半径 的"三角形"
(扇形本身就象个三角形嘛 想象一下)
因为 三角形面积=底*高/2
所以圆面积= 圆周长 * 半径 /2
= 2лr * r /2
= л×r×r
OK?
其实涉及到微积分问题 不过可以姑且这样想象下
推导圆面积计算公式的三种教法
教学圆面积公式的推导,我曾听过三种不同的教法,现分别简介过程及稍作评点.
〔第一种教法〕
（1）复习长方形面积计算公式.
（2）让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程.
（3）教师边用教具演示,边要求学生回答：
①拼成的图形近似于什么图形?想一想,如果等分的份数越多,拼成的图形会怎么样?
②拼成的图形与原来圆的面积相等吗?
③这个近似长方形的长相当于圆的什么?它的宽相当于圆的什么?
（4）教师要求学生说出由长方形面积计算公式,推导出圆面积计算公式的方法（可按课本说）.
（5）揭示圆的面积公式.
〔评：这种教法,看起来是引导学生自学,并结合演示让学生回答问题,似乎学生学得较主动,实际上学 生未有实践、思考的过程,只是“依样画葫芦”,对其中的道理不能弄懂、弄通,这属于机械的学习.〕
〔第二种教法〕
1、导入新课.
教师让学生回忆一下,以前学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算时,是用什么方法推导它们的计算 公式的.（用割、拼法拼成长方形或平行四边形进行计算,教师出示割、拼教具分别作简单的演示.）接着, 出示一张圆形硬纸片,问：“怎样计算它的面积呢?”（揭示课题）教师指出：我们仍可用以前学过的割、拼 法,把圆转化为已学过的图形,运用此图形的面积计算方法,推导出圆面积的计算方法.
2、实际操作.
要求学生拿出圆面积的割拼图形学具,在教师的指导下,边操作,边回答以下问题：
①把一个圆平分成两半,每一个半圆形的哪一部分长度相当于圆周长的1／2?再把每一个半圆形平均分 成8等份（如课本的切割图）,那么哪一段的长度相当于圆的半径?
②想一想：能不能把这些等分出的图形,拼成近似于我们以前学过的图形?怎样拼?（要求学生动手实践 ,并指名演示拼出的几种不同的图形.如：长方形、平行四边形、梯形等.）
③所拼出的图形面积与原来圆面积相等吗?
3．推导公式.
先以拼出的近似长方形的图形为例,教师引导学生弄清,若平分的份数越多,拼成的图形越接近长方形. 进而,教师要求学生据图回答：割拼后的长方形的长相当于圆的哪一部分的长度?宽相当于圆的哪一部分的长 度?从而
由 长方形的面积＝长×宽
↓ ↓
得 圆的面积 ＝πr×r＝πr〔2〕.
然后,出示拼出的近似的平行四边形或梯形,再次推导看能否得出上面的圆面积公式（略）.这样就得到 了证实,使学生确信无疑.
〔评：这种教法比第一种教法有很大的改进,教师首先通过复习旧知,提出解决问题的办法,把新旧知识 有机结合起来,明确了本课中心内容,然后让学生亲手操作割拼成几种已学过的图形,引导学生观察、思考、 比较、推导,其间不囿于课本中的推导方法,让学生思维得以发散,从而强化了转化思想,多渠道地推得圆面 积计算公式.学生在学习过程中,始终处于积极主动的状态,这种学习是有意义的学习,不仅使他们“学会” ,而且使他们“会学”,且有助于发展学生的智能.〕
〔第三种教法〕
1、引入新课.
教师开导：圆在日常生活、生产实践及科学实验中,有着广泛的应用.上节课我们学习了圆的周长计算, 但仍不够,还要学会计算圆的面积.如计算一个雷达圆形屏幕的面积,一个圆形花圃的面积等.怎样才能算出 它的面积呢?（揭示、板书课题）.
2、创设情境.
教师用几张相等的圆纸片,运用折纸、剪纸的方法,分别折剪成正四边形、正八边形、正十六边形,然后 再分别与原来的图纸片叠在一起,见下图：
（附图 {图}）
折四等份剪成 折八等份剪成 折十六等份剪成
正四边形 正八边形 正十六边形
引导学生观察、对比三个内接正多边形与圆的面积差（阴影部分）谁大谁小,并启发学生归结出：折成的 等份数越多,剪成的正多边形边数越多,它就越接近圆.其中正多边形的每等份（三角形）就越接近圆的每等 份.
3、推导公式.
师：同学们现在要计算圆的面积,选用哪种正多边形为好?为什么?
生〔,1〕：选正十六边形为好,因为它较接近圆.
生〔,2〕：选边数越多的正多边形更好,因为它更接近圆.
师：回答得很好,根据现有的右图,怎样计算圆的面积呢?请大家思考以下问题：
（1）圆的面积相当于多少个三角形面积之和?
（2）这些三角形的底边之和相当于圆的什么?
（3）每个三角形的高相当于圆的什么?
学生边回答,教师边板书：
正十六边形的面积＝S〔,三角形〕×16
↓
＝底边×高÷2×16
＝底边×16×高÷2
↓ ↓
圆的面积＝2πr× r÷2
＝πr〔2〕
最后让学生自学课本中的推导方法,质疑解难.进而教师小结：推导圆的面积公式与以前推导有关图形面 积公式一样,把圆转化为已学过的图形进行计算,同学们课后如有兴趣,还可将圆割拼为平行四边形、梯形, 看是否仍能推出S〔,圆〕＝πr〔2〕.
〔评：这种教法具有以下几个特点：
1、导入新课开门见山,使学生感到学习圆的面积是实际中的需要,从而激发了学生的求知欲望.
2、在推导圆面积公式前,教师创设情境,让学生领悟隐含于直观演示中的初步“极限”思想,有助于发 展学生空间想象力和空间观念,从而为推导公式作好铺垫.这是前两种教法所不及的.
3、运用“整体－部分－整体”,分割求和的方法推导圆面积公式,新颖独特,学生易于接受,又以课本 中的方法及其他方法作验证,使学生加深理解,记忆牢固.
4、小结中能促使新知与原有认知结构中有关观念建立起联系,学生的学习是“有意义”的学习.
总评：教学圆面积公式的推导,要充分运用直观手段,引发学生积极思考,不仅使学生知其然,还要知其 所以然,要把教材本身的内在联系揭示出来,促使学生运用已学知识主动地去获取新知；既使学生“学会”, 又使学生“会学”,让他们在学习中同时学到科学的方法,提高学习能力,这样才能取得较好的教学效果.由 此可见,后两种教法是可取的,且教法三更佳.