题目
如图所示,从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,垂足为焦点F1,若椭圆长轴一个端点为A,
短轴一个端点为B,且OM∥AB.若F2为椭圆的右焦点,直线PQ过F2交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥AB,当S△F1PQ=20√3时,求椭圆方程
短轴一个端点为B,且OM∥AB.若F2为椭圆的右焦点,直线PQ过F2交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥AB,当S△F1PQ=20√3时,求椭圆方程
提问时间:2020-12-20
答案
由MF1⊥x轴知|MF1|=b^2/a,
又OM∥AB,
∴△ABO∽△OMF1,a∶c=b∶(b^2/a),
∴b=c,a=√2b,直线AB的斜率为√2/2,那么直线PQ的斜率为-√2,
椭圆方程可设为x^2/2+y^2=b^2……①,
直线PQ的方程为x=(-√2/2)y-b……②,
设点P、Q的纵坐标分别为y1、y2,则S△F1PQ=|F1F2|*(y1-y2)/2,而|F1F2|=2b,
∴S△F1PQ=b*(y1-y2),∴b*(y1-y2)=20√3,
∴(y1-y2)^2=1200/(b^2),
联解方程①②得:((-√2/2)y-b)^2+2y^2=2b^2,
整理得:5y^2+2√2by-2b^2=0,
∴y1+y2=-(2√2b)/5,y1y2=-(2b^2)/5,
又(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2,
∴8b^2/25+8b^2/5=1200/(b^2),
解得b^2=25,
∴所求椭圆方程为:x^2/2+y^2=25.
又OM∥AB,
∴△ABO∽△OMF1,a∶c=b∶(b^2/a),
∴b=c,a=√2b,直线AB的斜率为√2/2,那么直线PQ的斜率为-√2,
椭圆方程可设为x^2/2+y^2=b^2……①,
直线PQ的方程为x=(-√2/2)y-b……②,
设点P、Q的纵坐标分别为y1、y2,则S△F1PQ=|F1F2|*(y1-y2)/2,而|F1F2|=2b,
∴S△F1PQ=b*(y1-y2),∴b*(y1-y2)=20√3,
∴(y1-y2)^2=1200/(b^2),
联解方程①②得:((-√2/2)y-b)^2+2y^2=2b^2,
整理得:5y^2+2√2by-2b^2=0,
∴y1+y2=-(2√2b)/5,y1y2=-(2b^2)/5,
又(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2,
∴8b^2/25+8b^2/5=1200/(b^2),
解得b^2=25,
∴所求椭圆方程为:x^2/2+y^2=25.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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英语翻译
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