题目

设有任意两个n维向量组α₁，…，α_m和β₁，…，β_m，若存在两组不全为的数λ₁，…，λ_m和k₁，…，k_m，使（λ₁+k₁）α₁+…+（λ_m+k_m）α_m+（λ₁-k₁）β₁+…+（λ_m-k_m）β_m=0，则（　　）
A. α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性相关
B. α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性无关
C. α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性无关
D. α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性相关

提问时间：2020-12-20

答案

因为：
若存在两组不全为的数λ₁，…，λ_m和k₁，…，k_m，使（λ₁+k₁）α₁+…+（λ_m+k_m）α_m+（λ₁-k₁）β₁+…+（λ_m-k_m）β_m=0，
整理得：λ₁（α₁+β₁）+…+λ_m（α_m+β_m）+k₁（α₁-β₁）+…+k_m（α_m-β_m）=0．
因为 λ₁，…，λ_m，k₁，…，k_m 不全为零，
所以：α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m 线性相关，故选项D正确．
事实上，剩余几个选项都是错误的．
取m=2，下面举出反例来说明A、B均为错误的，
对于选项A：
取β₁，β₂线性无关，α₁，α_m线性相关，且满足α₂=-α₁．
若取λ₁=k₁=λ₂=k₂=1，
则：（λ₁+k₁）α₁+（λ₂+k₂）α₂+（λ₁-k₁）β₁+（λ₁-k₁）β_m =2α₁+2α₂+0+0=0，
但β₁，β₂线性无关，故选项A错误．
对于选项B：
取β₁，β₂线性无关，α₁，α_m线性相关，且满足α₂=-α₁．
若取λ₁=k₁=λ₂=k₂=1，
则：（λ₁+k₁）α₁+（λ₂+k₂）α₂+（λ₁-k₁）β₁+（λ₁-k₁）β_m =2α₁+2α₂+0+0=0，
但α₁，α₂线性相关，故选项B错误．
下面，利用反正法叙述C是错误的．
倘若选项C正确，
即：α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性无关，
则对应任意常数k₁，…，k_2m，如果：
k₁（α₁+β₁）+…+k_m（α_m+β_m）+k_m+1（α₁-β₁）+…k_2m（α_m-β_m）=0，
则有：k₁=…=k_2m=0，
而又由已知条件：（λ₁+k₁）α₁+…+（λ_m+k_m）α_m+（λ₁-k₁）β₁+…+（λ_m-k_m）β_m=0，
化简得：λ₁（α₁+β₁）+…+λ_m（α_m+β_m）+k₁（α₁-β₁）+…+k_m（α_m-β_m）=0．
故应该有：λ₁=…=λ_m=k₁=…k_m=0，
这与λ₁，…，λ_m和k₁，…，k_m不全为0矛盾，
故假设不成立，选项C错误．
故选：D．