题目

若fx在[m,n]上的值域是[m,n] 高中数学
已知函数fx=1/a-1/x（a>0,x>0).
1. 若fx在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值；
2. 若fx《=2x 在（0,+&)上恒成立,求a的取值范围

提问时间：2020-12-20

答案

∵y=-1/x在(0,＋∞)上单调递增
x∈[m,n]时,f(x)∈[m,n]
∴1/a-1/m=m,1/a-1/n=n
即1/a-1/x=x在x∈(0,＋∞)上有两个不相等的实根
将方程整理为ax^2-x＋a=0,△=1-4a^2＞0,即0＜a＜1/2
再根据求根公式得,m=[1-√(1-4a^2)]/2a,n=[1＋√(1-4a^2)]/2a
2.将f(x)≤2x整理为2ax^2-x＋a≥0
要使上式在(0,＋∞)上恒成立,即方程2ax^2-x＋a=0的判别式△≤0恒成立,得0≤a≤1/2√2