题目

已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,角BCD=60度,PD垂直AD点E是BC边的中点
(1)求证AD垂直平面PDE
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60度,且AB=4 PD=8/3根号3
求点P到平面ABCD的距离
求二面角P-AB-C的大小

提问时间：2020-12-19

答案

（1）联结DE
E为BC中点,得BC=1/2CD,
又 角BCD=60 ,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,
得三角形DEC为直角三角形,所以DE垂直BC,也垂直于AD
又PD垂直于AD
所以AD垂直平面PDE
（2）
从P做PO垂直于ED于点O ,
又因为AD垂直于面PDE所以PO垂直于AD,
所以PO垂直于平面ABCD,即二面角P-AD-C为角PDE,PO为P倒平面ABCD的距离
因为PD=8/3根号3 ,PDE=60度,所以PO=PDsin60=4
过O做OM垂直于AB联结PM
则PM垂直于AB（三垂线段定理）角PMO为P-AB-C的二面角
延长MO交CD于N
在直角三角形DNO中（其中角DNO为直角,很容易可以证明）
OD=PDCOS60=4/3根号3,又角CDE=30
所以ON=ODsin30=2/3根号3
MN为菱形ABCD的高,可求得
MN=BCsin60=2根号3
OM=MN-ON=2根号3-2/3根号3=4/3根号3
在直角三角形POM中
tan角PMO=PO/OM=4/（4/3根号3）=1/3根号3
则二面角P-AB-C的大小为 30度