题目

已知函数f(x)=cos(π/2+2x)+cos(2x) 1）求函数y=f（x）的单调递减区间
2）若f（α-π/8）=根号2/3,求f（2α+π/8）的值

提问时间：2020-12-19

答案

1、f(x)=-cos(π-π/2-2x)+cos2x
=-cos(π/2-2x)+cos2x
=cos2x-sin2x
=√2[cos2x(√2/2）-sin2x（√2/2）]
=√2cos(2x+π/4）,
2kπ<=2x+π/4<=2kπ+π,函数为单调减函数,
则2kπ-π/4<=2x<=2kπ+3π/4,
∴kπ-π/8<=x<=kπ+3π/8,（k∈Z),为单调递减区间.
2、f（α-π/8）=√2cos(2α-π/4+π/4）=√2cos2α=√2/3,
cos2α=1/3,
sin 2α=±√（1-1/9）=±2√2/3,
2α∈[2kπ,2kπ+π]为正,
即α∈[kπ,kπ+π/2]为正,
α∈[kπ-π/2,kπ]为负,
f（2α+π/8）=√2cos[4α+π/4+π/4）
=√2cos[4α+π/2）
=-√2cos（π-4α-π/2）
=-√2cos(π/2-4α）
=-√2sin4α
=-√2*2sin（2α）cos（2α）
=-2√2（±2√2/3）*（1/3）
=±8/9.
α∈[kπ,kπ+π/2]为负,
α∈[kπ-π/2,kπ]为正.