题目

请问x^a*exp(x)的不定积分

提问时间：2020-12-19

答案

这个积分是没有初等函数表达式的,需要注意的是,不是所有的函数都能够给出初等函数的表达式,对于这个积分就是如此,不过可以利用分部积分进行一些化简,化成Gamma函数的形式,这样就可以在不将积分积出的前提下,对函数进行讨论.
说一下符号的记法,对函数f在a到b区间,关于x积分,就写成:
Integrate[f[x]dx {a,b}]
首先,先换下元,令A/x = t,
所以有 dx = d(A/t)
这样函数积分化为:
Integrate[Exp[-A/x]d(x),{0,1}]
=Integrate[-Exp[-t]d(A/t),{A,infinity}]
然后分部积分:
Integrate[-Exp[-t]d(A/t),{A,infinity}]
= Exp[-A] + A*Integrate[(1/t)Exp[-t]dt,{A,infinity}]
= Exp[-A] + A*Gamma[0,A]
一般的,Gamma函数被定义为:
Gamma[z] = Integrate[(t^(z-1))*Exp[-t]dt,{0,infinity}]
叫做Euler Gamma Function(欧拉伽玛函数)
但是很多情况下积分限并不总是从零到正无穷,所以人们又定义了Incomplete Gamma Func