题目

判断矩阵能否与一个对角阵相似的问题
2 0 0
矩阵A=1 2 -1
1 0 1
我知道矩阵A存在相似对角阵的充要条件是:如果A是n阶方阵,它必须有n个线性无关的特征向量
这道题的解答里有一句话：矩阵的三个特征值分别是1,2,2,当（A-2E）的秩为1时,有2个线性无关的特征向量,这样就能与一个对角矩阵相似.
请问这句话该怎么理解,或者有什么定理可以参照吗?
解答里有句话我写错了：“当（A-2E）的秩为1时，就有2个线性无关的特征向量，这样就能与一个对角矩阵相似。”它的意思是，只要秩是1了，就有2个线性无关的特征向量，这句话有什么定理可参照否？或者怎么去理解？

提问时间：2020-12-19

答案

不同特征值的特征向量肯定线性无关,所以这个矩阵的特征向量相关的只可能是2的两个特征向量,而A-2E的秩为1时的特征向量正是2对应的特征向量,所以这两个线性无关时就是整个矩阵有三个无关的特征向量啊.
A-2E的特征向量正是求特征值为2的特征向量
你可以算一下当特征值是2的时候的特征向量的过程,会发现第一步就是算A-2E,而且二重特征值是2所以a-2e的秩为1.
其实他绕了一个小弯子,就是说求对应2的特征向量有两个无关向量.你可以找一个二重特征向量的例子求一下特征值,看看A-nE(n是二重特征值)的秩是不是1,然后看看是不是两个无关特征向量体会一下就知道了.
恐怕光这么写你不会太明白……试一下.