题目

如何把一个等边三角形分成5个全等三角形

提问时间：2020-12-19

答案

将一个正△平分成5个全等的△是不可能的,用反证法证明如下.
假定有一个满足要求的划分.
设这个划分在正△的边上有e个顶点,内部有f个顶点.那么计算内角和,有
5π=π+e•π+f•2π
得e+2f=4.故f≤2.
若f=2,e=0,那么三条边都是完整的,属于3个△,还有两个△不含这种长边,故不可能全等.
若f=1,e=2,那么就有1至2条边是完整的,同样也不行.
若f=0,e=4,使正△的三条边都有顶点分断,并且有一条边被两个顶点分成3段.这种情况需要仔细分析.由于f=0,所以引线不能在内部相交,这点不能违背.
设正△的面积为5,那么划分的5个全等小△的面积都是1.
1、从正△的顶点A向对边BC上的点E引线.
这首先把正△ABC分成左右两个过渡△,左边ABE将包含2个小△,右边ACE将包含3个小△.故S左=2,S右=3,所以BE/CE=2/3.E与边AB上的点D连线将ABE分成2个全等小△,因面积相等,所以D应为AB的中点.可是这样划分的ADE与BDE显然并不全等.
2、排除了从正△顶点引线的可能性后,那么正△的三个顶角都被完整遗传,所以5个小△也是正△的情况很容易排除,即小△只有一个60度角,故必为全等之对应角.现在设边上4点的分配为AB上有点D,BC上有点E和F（E靠近B）,CA上有点G.
那么要么BD对应地等于AD,要么BD对应地等于AG,二者必居其一.
若BD=AG,则BE=AD,CE=AG,即△DEG为内接正△,△CEG也等于面积为1的小△,这与它包含面积为1的小△CFG相矛盾.故只BD=AD,即D为AB中点.
同理,G为AC中点.但这样的话,△ADG就是正△,并且是四等分△了,矛盾.
故不存在满足要求的划分.