题目

曲线和方程
设A（-c,0）,B（c>0）为两定点,动点P到A得点距离与到B点的距离的比为定值a（a>0）.求P点轨迹

提问时间：2020-12-19

答案

设P(x,y),A(-c,0),B(c,0),（c>0）,
由题意,PA∶PB=a,（a>0）,
∴(x+c)²+y²=a²[(x-c)²+y²]
x²+2cx+c²+y²=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²
(1-a²)x²+2c(1+a²)x+(1-a²)y²+c²(1-a²)=0,
①当a=1时,4cx=0,x=0,
∴点P的轨迹是直线x=0,（线段AB的垂直平分线）；
②当a>0且a≠1时,
则(1-a²)x²+2c(1+a²)x+(1-a²)y²+c²(1-a²)=0表示一个椭圆,
即点P的轨迹是一个椭圆.
综上,当a=1时,点P的轨迹是直线x=0；
当a>0且a≠1时,点P的轨迹是一个椭圆.