题目

Bernoulli不等式：(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r=-1且x不等于0成立.如何用导数证明?

提问时间：2020-12-19

答案

这道题主要是利用求导判断单调性.
令函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx)
先求导得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]
讨论:
(1)当r>1时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)>0
因此f(x)在R上是单调递增.
由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0
所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0
即有(1+x)^r>1+rx成立!
(2)当r0
因此f(x)在(0,正无穷大)上是单调递增.
这样在r=-1且x不等于0时,f(x)最小值为f(0)=0
因此在r=-1且x不等于0时,f(x)>0,
即(1+x)^r>1+rx成立.
综上所述:(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r=-1且x不等于0成立.