题目
如图,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dc54564e9258d109c3ffae00d258ccbf6c814d67.jpg)
(1)求SC与平面ASD所成的角余弦;
(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dc54564e9258d109c3ffae00d258ccbf6c814d67.jpg)
(1)求SC与平面ASD所成的角余弦;
(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦.
提问时间:2020-12-19
答案
(1)作CE∥AB交AD的延长线于E,
∵AB⊥AD,
∴CE⊥AD.
又∵SA⊥面ABCD,
∴CE⊥SA,SA∩AD=A,
∴CE⊥面SAD,SE是SC在面SAD内的射影,
∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角,
易得SE=
,SC=
,
∴在Rt△CES中,cosθ=
=
(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB,
而△SAB的面积S1=
×SA×AB=
,
设SC的中点是M,∵SD=CD=
,
∴DM⊥SC,DM=
∴△SCD的面积S2=
×SC×DM
设平面SAB和平面SCD所成角为φ,
则由面积射影定理得cosφ=
=
∵AB⊥AD,
∴CE⊥AD.
又∵SA⊥面ABCD,
∴CE⊥SA,SA∩AD=A,
∴CE⊥面SAD,SE是SC在面SAD内的射影,
∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角,
易得SE=
2 |
3 |
∴在Rt△CES中,cosθ=
CE |
SC |
| ||
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(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB,
而△SAB的面积S1=
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1 |
2 |
设SC的中点是M,∵SD=CD=
| ||
2 |
∴DM⊥SC,DM=
| ||
2 |
∴△SCD的面积S2=
1 |
2 |
| ||
4 |
设平面SAB和平面SCD所成角为φ,
则由面积射影定理得cosφ=
S△SAB |
S△SCD |
| ||
3 |
(1)作CE∥AB交AD的延长线于E,由∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,可证得SA⊥面ABCD,进而CE⊥面SAD,则∠CSE是SC与平面ASD所成的角,解Rt△CES即可得到答案.
(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,△SCD在面SAB的射影是△SAB,分别求出而△SAB的面积和△SCD的面积,代入cosφ=
,即可得到答案.
(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,△SCD在面SAB的射影是△SAB,分别求出而△SAB的面积和△SCD的面积,代入cosφ=
S△SAB |
S△SCD |
二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角.
本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角,其中(1)的关键是证得∠CSE是SC与平面ASD所成的角,(2)的关键是证得,△SCD在面SAB的射影是△SAB,进而cosφ=
.S△SAB S△SCD
举一反三
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