题目

已知函数f(x)＝px−

p

x

−2lnx．
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．

提问时间：2020-12-18

答案

（1）当p=2时，函数f(x)＝2x−2x−2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)＝2+2x2−2x，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x...

（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简；
（2）令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后建立不等关系，解之即可求出p的取值范围．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．