题目

OA,OB是圆O的俩条半径且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点,过点C作CD切圆O于点D,连AD交OC于点E求证：CD=CE
若将上图的半径OB所在直线向上平行移动交圆O于B’,其他条件不变,那么上述结论 CD=CE成立吗?为什么?

提问时间：2020-12-18

答案

（1）如图（1）,OA、OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点,过点C作CD切⊙O于点D,连接AD交OC于点E．
求证：CD=CE；
（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交⊙O于B′,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?
（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?
分析：（1）可连接OD,通过等边对等角（∠OAD=∠ODA）,等角的余角相等（∠OAE+∠OEA=90°,∠ODA+∠CDE=90°）,
以及对顶角相等（∠AEO=∠CED）,将相等的角进行置换即可得出∠CDE=∠CED,即CD=CE；
（2）连接OD方法和（1）完全相同；
（3）延长OA交CF于G,由于CF是上下平行移动,因此OG⊥CF,证法同（1）．
证明：（1）连接OD,
OD⊥CD,∠CDE+∠ODA=90°；
在Rt△AOE中,
∠AEO+∠A=90°；
在⊙O中,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,∠CDE=∠AEO,
又∵∠AEO=∠CED,
∴∠CED=∠CDE,CD=CE；
（2）CE=CD仍然成立,
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动,
∴CF⊥AO于F；
在Rt△AFE中,
∠A+∠AEF=90°,
连接OD,则
∠ODA+∠CDE=90°,且OA=OD,
∴∠A=∠ODA,∠AEF=∠CDE；
又∵∠AEF=∠CED,
∴∠CED=∠CDE,CD=CE；
（3）CE=CD仍成立,
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动,
∴AO⊥CF,
延长OA交CF于G,
在Rt△AEG中,
∠AEG+∠GAE=90°；
连接OD,有,
∠CDA+∠ODA=90°,且OA=OD,
∴∠ADO=∠OAD=∠GAE,
∴∠CDE=∠CED,
∴CD=CE．