题目

如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．

（1）求证：AF=DF+BE．
（2）设DF=x（0≤x≤1），△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-12-18

答案

（1）证明：如图，
延长CB至点G，使得BG=DF，连接AG．因为ABCD是正方形，所以在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD=AB，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG．
∴Rt△ADF≌Rt△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG．
又∵AE是∠BAF的平分线
∴∠EAF=∠BAE，
∴∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE即∠EAD=∠GAE．
∵AD∥BC，
∴∠GEA=∠EAD，
∴∠GEA=∠GAE，
∴AG=GE．
即AG=BG+BE．
∴AF=DF+BE，得证．
（2）S=S△ADF+S△ABE=

1

2

DF•AD+

1

2

BE•AB
∵AD=AB=1，
∴S=

1

2

(DF+BE)
由（1）知，AF=DF+BE，所以S=

1

2

AF．
在Rt△ADF中，AD=1，DF=x，
∴AF=

x2+1

，
∴S=

1

2

x2+1

．
由上式可知，当x²达到最大值时，S最大．而0≤x≤1，
所以，当x=1时，S最大值为

1

2

x2+1

=

1

2

2

．

（1）作辅助线AG、BG，使得BG=DF，可以求证△ABG≌△ADF，在求证∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求证AG=EG，即求EG=DF+BE即可．
（2）列出△ADF与△ABE的面积和S的计算式，并且化简，根据S与x的关系求最大值．

本题考点：正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查的转化思想，要把AF转化到其全等三角形里面，根据等腰三角形腰长相等的性质求解．考查了面积计算公式，和一元二次不等式极值的计算．