题目

设G（x+z*x^（-1）,y+z*x^（-1））=0确定了z=f（x,y）证明：x*z对x的偏导数+y*z对y的偏导数=z-xy
是我打错了，应该是G（x+z*y^（-1），y+z*x^（-1））=0

提问时间：2020-12-18

答案

z = f（x,y）
x*z对x的偏导数 = z + xz'_1 ...(1)
y*z对y的偏导数 = z + yz'_2 ...(2)
其中,z'_1 和 z'_2 分别表示二元函数z = f（x,y）对第1个变量和第2个变量的偏导数.
又
G（x+z*x^（-1）,y+z*x^（-1））= 0,
因此,
G'_1[1 + z'_1x^(-1) - zx^(-2)] + G'_2[z'_1x^(-1) - zx^(-2)] = 0,
G'_1[x^2 + z'_1x - z] + G'_2[z'_1x - z] = 0,
xz'_1 = [zG'_1 + zG'_2 - x^2G'_1]/[G'_1 + G'_2] ...(3)
G'_1[z'_2x^(-1)] + G'_2[1 + z'_2x^(-1)] = 0,
G'_1[z'_2] + G'_2[x + z'_2] = 0,
yz'_2 = -xyG'_2/[G'_1 + G'_2] ...(4)
其中,G'_1 和 G'_2 分别表示二元函数G = G（u,v）对第1个变量和第2个变量的偏导数.
由（1）~（4）,有,
x*z对x的偏导数+y*z对y的偏导数 = z + xz'_1 + z + yz'_2
= 2z + [zG'_1 + zG'_2 - x^2G'_1]/[G'_1 + G'_2] - xyG'_2/[G'_1 + G'_2]
= 3z - x(xG'_1 + yG'_2)/[G'_1 + G'_2]
题目有误.