题目

已知函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x-1，则不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集为______．

提问时间：2020-12-18

答案

若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，此时f（-x）=-x-1，
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=-x-1=f（x），即f（x）=-x-1，x∈[-2，0]，
若x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，
∵函数的周期是4，∴f（x）=f（x-4）=-（x-4）-1=3-x，
即f（x）=

−x−1， −2≤x≤0 x−1， 0≤x≤2 3−x， 2≤x≤4

，作出函数f（x）在[-1，3]上图象如图，
若0＜x≤3，则不等式xf（x）＞0等价为f（x）＞0，此时1＜x＜3，
若-1≤x≤0，则不等式xf（x）＞0等价为f（x）＜0，此时-1＜x＜0，
综上不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集为（1，3）∪（-1，0），
故答案为：（1，3）∪（-1，0）

根据函数的奇偶性和周期性求出函数f（x）的解析式，利用不等式的性质即可得到结论．

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．