题目

如图11所示,直线AC平行BD,连结AB,直线AC.BD及线段AB把平面分成(1)(2)(3)(4)四个部分,规定:

提问时间：2020-12-18

答案

如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时,求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
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分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E,由AC∥BD,可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA,可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线,根据平行线的性质解答；
（3）根据P的不同位置,分三种情况讨论．
（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．
∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
解法二：如图2
过点P作FP∥AC,
∴∠PAC=∠APF．
∵AC∥BD,∴FP∥BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；
解法三：如图3,
∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时,结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上,
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时,
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4,连接PA,连接PB交AC于M．
∵AC∥BD,
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上,∴∠APB=0度．
∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD．
选择（c）证明：
如图6,连接PA,连接PB交AC于F
∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
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等等图片好不好