题目

如图,P拾射线y=3x/5（x>0）上一动点,以P为圆心的圆与y轴切于C点,与x轴正半轴交于A、B两点.
是否存在直线l,当点P在射线上运动时,过A、B、C三点的抛物线顶点始终在同一直线l上?若存在,求出l解析式；若不存在,说明理由.

提问时间：2020-12-18

答案

假设P(a,3a/5),a＞0.则⊙P的半径为a,因为它与y相切,故可知其半径；且C的坐标为(0,a).
可以过P向x作垂线交之于D,D的坐标为D(a,0)；则PD=3a/5,PA=PB=a,AD²=BD²=PA²-PD²=a²-(3a/5)²=(4a/5)²【勾股定理】,即AD=BD=4a/5,所以A、B的坐标分别为：A(a/5,0)、B(9a/5,0).此处不清楚可画图一看,实际上也可以先求出圆方程,然后再求交点A、B.
A(a/5,0)、B(9a/5,0)、C(0,a)三点为抛物线,可用交点式写出抛物线方程：y=k(x-a/5)(x-9a/5)【k＞0,k是系数】,且过C(0,a),代入知：a=k(a/5)(9a/5),即a=0(a＞0舍去)或a=25/9k,所以抛物线方程y=k(x-5/9k)(x-5/k)=(x-5/9k)(kx-5)=kx²-50x/9+25/9k
抛物线对称轴x=-b/2a=50/18k,ymin=(4ac-b²)/4a=c-b²/4a=25/9k-2500/324k=-400/81k.
即抛物线顶点坐标为(50/18k,-400/81k),由此可求直线l：y=mx+n过点(50/18k,-400/81k),-400/81k=50m/18k+n,可求出l的解析式.【值得注意的是,随着P的移动,会出现不同的k值,所以-400/81k=50m/18k+n不仅仅是一个方程,而是一个方程组,根据不同的k值求出m、n的值,如果它们与k无关,则命题可得成立.】